Mari Belajar "Persamaan Garis"

Mari Belajar "Persamaan Garis"

Sebuah garis dapat dibentuk dari dua buah titik.

Oleh karena itu, kita dapat menentukan persamaan sebuah garis hanya dengan mengetahui titik koordinat dua titik tersebut. Misalnya A(x1,y1) dan B(x2,y2). Jika titik A dan B dihubungkan akan membentuk sebuah garis dengan persamaan y = mx + C.

1. Menentukan Persamaan Garis dari 2 Titik yang Diketahui

Perhatikan contoh di bawah ini: Sebuah titik A(1,4) dan B(2,9) dihubungkan dengan sebuah garis. Maka tentukan persamaan garis yang terbentuk!
Rumus yang digunakan adalah:

Selanjutnya, bagaimana cara menentukan persamaan garisnya?
(Keterangan gambar: PG = Persamaan Garis)

2. Menghitung Jarak Antara 2 Titik

Dengan menggunakan rumus Phytagoras, yaitu sisi miring² = alas² + tinggi² kita dapat menentukan jarak antara 2 titik.
Contoh: Tentukan jarak antara titik A dan B di bawah ini!

Dapat dilihat ∆y = 4 dan ∆x = 6

Dengan menggunakan rumus Phytagoras: AB² = ∆y² + ∆x², maka akan di dapat AB = ...

Untuk selanjutnya, kita dapat menghitung jarak antara dua titik dengan rumus berikut ini:

3. Menentukan Titik Tengah M

Titik M terletak segaris dengan AB, dimana jarak AM = MB . Bagaimana cara menentukan titik tengah tersebut? Gambarkan saja terlebih dahulu, maka kalian akan langsung dapat melihat dimana titik tengahnya.

Dari gambar di atas, maka ditemukan bahwa titik M adalah (4,3)

Dari gambar di atas, kita dapat menemukan rumus untuk mencari titik tengah dari dua buah titik yang diketahui, yaitu:

4. Apakah Gradien Itu?

Nama lain dari gradien adalah kemiringan garis yang sudut kemiringannya diwakili dengan bilangan tan θ. Dimana θ adalah sudut kemiringan garis tersebut terhadap sumbu x.

Tentukan gradien dari garis di bawah ini!

Sudah kita ketahui bahwa gradien adalah kemiringan garis.

Maka dari rumus itu dapat dicari bahwa gradien garis di atas adalah 1 (satu).

5. Bagaimana Cara Menentukan Persamaan Garis dari 2 Titik dengan Mencari Gradien m terlebih dahulu

Selain dapat dicari dengan cara pada nomor 1, yang telah saya terangkan di atas, persamaan garis dari dua buah titik juga dapat dicari dengan cara berikut ini:
Lihat langkah 1 dan langkah 2

Bagaimana contohnya? Lihat contoh soal dan langkah penyelesaiannya seperti gambar di bawah ini!

Mudah sekali, bukan? Ya, matematika memang mudah jika kita mempelajarinya setahap demi setahap.
Dari materi di atas, kita dapat menentukan persamaan garis yang melalui titik pusat O dengan gradien m.

Selain itu, kita juga dengan mudah dapat menentukan persamaan garis yang melalui sebuah titik yang lain dengan gradien m.

                 

Mari Belajar "Segitiga Istimewa"

Mari Belajar "Segitiga Istimewa"

Yang dimaksud segitiga istimewa adalah segitiga dengan sudut-sudut tertentu, misalnya segitiga siku-siku dengan sudut 30o dan 60o.
Mari kita bahas bagaimana menghitung sisi-sisi segitiga jika sudah diketahui salah satu sisinya.
Jika kamu membuat segitiga siku-siku dengan salah satu sudutnya 30o dan perbandingan alas : miring = 1 cm : 2 cm,
maka jika kamu ukur tingginya pasti sekitar 1,73 cm atau akar 3.
Akan didapat perbandingan alas : tinggi : miring seperti gambar di bawah ini.

Dari perbandingan di atas, jika diketahui panjang alasnya 5 cm maka dapat dicari panjang sisi miring dan tingginya secara mudah.
Yaitu:

dengan mengkalikan angka perbandingannya dengan angka 5, didapat:
panjang sisi miring = 10 cm dan tingginya 5 akar 3 cm.
Mudah sekali, bukan?
Sekarang kita coba jika diketahui panjang sisi miringnya 6 cm. Berapakah panjang sisi segitiga siku-siku yang lain?

Soal di atas juga amat mudah penyelesaiannya. Coba lihat, panjang sisi miringnya 6 cm. Padahal di angka perbandingannya 2 cm.
Dari 2 menjadi 6 --> kalikan 3.
Maka kalikan semua angka perbandingannya dengan angka 3

Jadi jika panjang sisi miringnya 6 cm, maka panjang alasnya menjadi 3 cm dan tingginya 3 akar 3 cm.
Yuk, kita coba selesaikan soal di bawah ini.

Matematika itu mudah. Justru dengan mengotak-atik angka di matematika maka kreativitas kita akan terasah.
Untuk menyelesaikan satu soal matematika bisa melalui banyak cara untuk mendapatkan satu jawaban yang sama.
Jadi kalian PD saja dengan cara kalian sendiri asal nalar dan tidak 'ngawur' serta jawaban akhirnya adalah benar. Yang paling penting dalam matenatika adalah prosesnya. Maka nikmatilah proses mengerjakan soal matematika. Jangan terlalu memikirkan jawabanku benar atau salah. Yang penting jawab saja dulu dengan cara menggerakkan tangan kalian untuk mencora-coret angka.
Nah, kembali lagi ke soal. Tuliskan perbandingan aslinya dan perbandingan angka yang ada di soal. Lihat!

Di kelas 5 SD kalian sudah diajarkan pelajaran perbandingan. Dari gambar di atas, buatlah perbandingan angka atas : angka bawah, didapat:

Pecah angka perbandingan itu satu-satu dan kali silang, maka didapat panjang a.

Namun jawaban di atas belum selesai, karena jawaban akhir pada soal matematika tidak boleh mengandung akar di bilangan penyebutnya. Maka rasionalkan. Tujuannya agar bilangan akarnya terletak di atas.

Nah, ini hasil akhirnya.

Sekarang menghitung sisi miringnya, persis seperti menghitung panjang alasnya.

Jika didapat m, jangan lupa rasionalkan.

Didapat panjang sisi miringnya adalah:

Sampai ketemu pada pertemuan yang akan datang.

Mari Belajar "Relasi dan Fungsi"

Mari Belajar "Relasi dan Fungsi"

Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah:
Hubungan yang memasangkan anggota A dengan anggota B dengan alasan tertentu.

Misalkan:
A = {Buyung, Doni, Vita, Putri},
B = {IPS, kesenian,keterampilan, olahraga, matematika, IPA, bahasa Inggris}

Hubungan himpunan A dan himpunan B dapat digambarkan dg:
1. diagram panah,

Sumber diagram: BSE

2. diagram cartesius,

Sumber diagram: BSE

3. himpunan pasangan berurutan

Sumber diagram: BSE

Perhatikan himpunan pasangan berurutan berikut ini.
Himpunan pasangan berurutan “setengah dari” = (x, y) = {(1,2), (2,4),(3,6),(4,8),(5,10),(6,12)}
Hubungan dari relasi di atas adalah x = ½ y atau y = 2x
Dalam relasi fungsi, y dikatakan sebagai fungsi dari x
dapat dituliskan menjadi: y = f(x) = 2x

1). Pada fungsi f(x) = 2x, jika x = 3 maka tentukan fungsi dari x adalah ...
Jawab:
f(x) = 2x
f(3) = 2.(3) = 6

2) Fungsi dari x = 5 adl…
Fungsi dari x = 5 artinya jika x = 5 maka f(x) = ...?
Atau lebih singkatnya, hitunglah f(5)= ...?
Jawab:
f(x) = 2x
f(5) = 2.(5) = 10

Sekarang coba kalian perhatikan soal di bawah ini:
Diketahui fungsi f didefinisikan sebagai f(x) = 2x² – 3x + 1.
Tentukan nilai fungsi f(x) untuk:
(i) x = 2;
(ii) x = – 3.
(Sumber soal: BSE)

Penyelesaian adalah:

Matematika itu asyik, bukan?
Nah, untuk sementara kita hentikan dulu materinya sampai disini ya...
Kita lanjutkan pelajaran relasi dan fungsi pada pertemuan di kelas Bu Rini.
Selanjutnya akan kita bahas apa itu pemetaan, apa syarat-syaratnya, dan bagaimana penggunaannya.
See you ...

Mari Belajar "Permutasi"

Mari Belajar "Permutasi"

Sumber materi: Buku Sartono Wirodikromo (Penerbit Erlangga)

ATURAN PENGISIAN TEMPAT YANG TERSEDIA

1. Untuk bepergian dari kota A ke kota B dapat ditempuh melalui dua jalan, dari B ke C ada tiga jalan. Berapa banyak cara yang dapat ditempuh untuk bepergian dari kota A ke kota C melalui kota B?
Jawab:

Dari kota A ke B ada 2 jalan = 2 cara
Dari kota B ke C ada 3 jalan = 3 cara
Banyak cara untuk pergi dari A ke C = 2 x 3 = 6 cara

2. Dari 8 calon siswa putra dan 7 calon siswa putrid akan dipilih sepasang siswa yang berprestasi yang terdiri 1 siswa putra dan 1 siswa putrid. Ada berapa cara pemilihan bisa dilakukan?
Jawab:

Banyak cara pemilihan = 8 x 7 = 56 cara

3. Diketahui lima buah angka 2, 3, 4, 5, dan 6 akan disusun bilangan-bilangan genap yang terdiri atas tiga angka. Berapa banyak cara untuk menyusun bilangan-bilangan genap yang terdiri atas 3 angka jika:
a. Bilangan genap itu boleh mempunyai angka yang sama
b. Bilangan genap itu tidak boleh mempunyai angka yang sama
Jawab:

A. Boleh mempunyai angka yang sama
Angka ketiga = satuan = tersedia 3 pilihan (Pilih angka 2, 4, 6)
Angka kedua = puluhan = tersedia 5 pilihan
Angka pertama = ratusan = tersedia 5 pilihan
Banyak cara menyusun bilangan genap tiga angka = 5 x 5 x 3 = 45 cara
B.Tidak boleh mempunyai angka yang sama
Angka ketiga = satuan = tersedia 3 pilihan (pilih angka 2,4,6)
Angka kedua = puluhan = tinggal 4 pilihan
-->(krn sudah dipilih 1 angka untuk satuan)
Angka pertama = ratusan = tinggal 3 pilihan
-->(krn sudah diambil 1 angka untuk satuan dan 1 angka untuk puluhan)
Banyak cara menyusun bilangan genap tiga angka = 3 x 4 x 3 = 36 cara

PERMUTASI

1. Akan disusun 4 huruf yang terdiri dari huruf A, B, C, dan D. Berapa banyak susunan yang mungkin terjadi?
Jawab:
• Huruf pertama = tersedia 4 pilihan
• Huruf kedua = tinggal 3 pilihan
• Huruf ketiga = tinggal 2 pilihan
• Huruf keempat = tinggal 1 pilihan
Maka banyak huruf yang mungkin terjadi adalah 4 x 3 x 2 x 1 = 24 cara

2. Maka susunan huruf yang diperoleh dari soal no 1 disebut permutasi 4 unsur yang diambil dari 4 unsur yang tersedia.
Permutasi 4 unsur yang diambil dari 4 unsur yang tersedia =

Permutasi n unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia =

n! baca n factorial.

3. Berapa banyak permutasi 2 huruf yang diambil dari huruf-huruf A,B,C,D?
Bahasa mudahnya adalah:
Akan disusun 2 huruf yang terdiri dari huruf A, B, C, dan D. Berapa banyak susunan yang mungkin terjadi?
Jawab:
• Huruf pertama = tersedia 4 pilihan
• Huruf kedua = tinggal 3 pilihan
Maka banyak huruf yang mungkin terjadi adalah 4 x 3 = 12 cara

4. Maka susunan huruf yang diperoleh dari soal no 3 disebut permutasi 2 unsur yang diambil dari 4 unsur yang tersedia.
Permutasi 2 unsur yang diambil dari 4 unsur yang tersedia =

Permutasi n unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia =

Mari Belajar "Berkenalan dengan Aljabar"

Mari Belajar "Berkenalan dengan Aljabar"

1. Penjumlahan dan Pengurangan Aljabar

Waktu kelas 1 SD kita diajarkan:
1 apel + 3 apel = 4 apel
Di tingkat SMP ini, juga akan diajarkan 1 apel + 3 apel, hanya bedanya kata apel diganti dengan sebuah variabel. Contohnya:
1 apel + 3 apel = 4 apel
1 apl + 3 apl = 4 apl
1a + 3 a = 4 a
Jadi, mulai sekarang kalian sudah tahu, bahwa:
1 xy + 3 xy = 4 xy --> (bayangkan xy = apel)
Sekarang coba lihat:
1 apel + 3 buku = 1 apel + 3 buku
Dan bukan 4 buku apel. Memangnya ada barang namanya apel buku? Maka:
1 a + 3 b = 1 a + 3b
4x + 3y = 4x + 3y
Sekarang perhatikan pengurangan benda di bawah ini :
8 buku – 3 buku = 5 buku
Kata buku dapat diganti dengan variabel b, menjadi:
8b – 3b = 5b
Kata buku juga dapat diganti dengan variabel y, menjadi:
8y – 3y = 5y

2. Perkalian aljabar

Coba perhatikan baik-baik perkalian kelas 2 SD di bawah ini :
2 x 3 = 2.3 = 6
a x b = a.b = ab
2a x 3b = 6ab
Nah, ternyata aljabar pelajaran yang mengasyikkan bukan ? Yuk, sekarang kita mulai mengotak-atik pecahan aljabar. Saat kelas 4 SD kita diajarkan bahwa :

Sama, pada materi pecahan aljabar juga cara mengerjakannya persis seperti pecahan SD di atas.
Coba perhatikan dan lihat persamaannya dengan pecahan di atas!

Nah, ternyata materi aljabar itu mengasyikkan. Jadi kalian jangan takut menghadapi aljabar ya. Aljabar itu mudah, sama seperti materi matematika yang lain.
Jika kalian merasa bahwa matematika itu sulit, rumit, membingungkan, dan lain-lain, mungkin karena kalian belum ketemu guru yang tepat atau sesuai dengan karakter dan gaya belajar kalian saja. Coba temukan guru itu untuk kemudian membuktikan bahwa ternyata kalian menjadi suka pada pelajaran matematika. Karena sebetulnya matematika itu mudah.
Kita lanjutkan:
Kalian sudah tahu bahwa 2 x 3 = 6 dan 2a x 3b = 6 ab
Dan 3 x 3 = 3², maka b x b = b²
Coba kita kerjakan perkalian aljabar di bawah ini:

Nah, mari kita coba penjumlahan pecahan aljabar di bawah ini:

Ingat cara penyelesaian pecahan SD di bawah ini:

Pecahan SD di atas kita aplikasikan untuk menyelesaikan pecahan aljabar di bawah ini:

Kerjakan setahap demi setahap.
Tahap pertama:

Tahap kedua:
Kalikan angka yang ada di luar kurung dengan angka yang ada dalam tanda kurung di dekatnya. Biasanya guru memakai istilah, "Buka tanda kurungnya"

Tahap ketiga:

Lanjutkan dengan soal pecahan aljabar yang kedua:

Sama seperti pecahan tersebut, pecahan aljabar juga disamakan penyebutnya. Perhatikan!

Coba kalian lanjutkan sendiri soal di bawah ini ya. Prinsipnya persis sama dengan pengerjaan soal pecahan pada gambar di atas ini.

Jika kalian masih merasa kesulitan dengan soal yang terakhir, coba tanyakan pada kedua orang tuamu atau kakakmu. Bagaimana cara menyelesaikannya. Tapi jika tetap belum bisa, tinggalkan saja dulu. Nanti guru di sekolahmu pasti akan menerangkan hal yang sama. Diajari dua atau tiga kali, lama-lama kalian akan bisa. Perlu dikembangkan juga kerjasama menyelesaikan soal latihan bersama teman-temanmu. Kemampuan bekerja sama dan belajar secara berkelompok ini akan sangat berguna hingga kalian kuliah nanti.
Coba kerjakan soal-soal di bawah ini untuk melatih keterampilan kalian.

Selamat mencoba ya... ^_^